Parcourir les exercices

On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...

Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...

Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...

Soit \(\lambda\in\R\) et ...

On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...

Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...

Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …

Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...

Soit \(\theta\in{]0,\pi[}\). Montrer que ...

On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...

On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...

Développer, pour tout \(x>0\), ...

Soit \((f_n)_{n\in\N^*}\) une suite de fonctions définie par : ...

Étudier la convergence des séries de terme général :

Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...

Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?

Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...

Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...

On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...

L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et \(v_n = \frac1{1+n^2u_n}\). Montrer q ...

Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).

Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soit \(a \in \R\).

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...

Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).

On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...

Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...

Prouver la convergence de la série de terme général \(u_n = \frac1{n\ln^2 n}\).

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...

On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \(\alpha > 0\). On pose ...

Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :