Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
A - Limites et continuité
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Le paragraphe a) consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà étudiées pour les suites. Afin d’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats.
Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de disposer d’outils efficaces (développements limités).
- a) Limite d’une fonction en un point 152
- b) Continuité en un point 173
- c) Continuité sur un intervalle 225
- d) Fonctions complexes 2
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 3960
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) dérivable telle que \(f\circ f = f\). Montrer q ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 3962
Soient \({u,v} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions telles que : ...
exo7 3973
Soit \(f:\R \to \R\) continue telle que \(\frac {f(2t)-f(t)}t \to a\) (si ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3988
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable telle que : \(f \ge 0\), ...
exo7 3990
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue telle que : ...
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4023
\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...
exo7 4024
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...
exo7 4037
Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4126
Soit \(F : {[a,b]\times \R} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que pour t ...
exo7 4132
On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...
exo7 4133
Soient \(f : {\R^2} \to \R, {(t,x)} \mapsto {f(t,x)}\) de classe ...
exo7 4221
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue non identiquement nulle, telle que : ...
exo7 4222
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive.
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4352
Montrer qu’il existe un unique réel \(x \in {[0,\pi]}\) tel que ...
exo7 4356
Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4376
Soit \((f_n)_{n\in\N^*}\) une suite de fonctions définie par : ...
exo7 4400
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue.
Chercher ...
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...