Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Continuité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Continuité en un point. Continuité à droite et à gauche. Opérations, composition. Prolongement par continuité. Continuité sur un intervalle. | |
Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. | Ce résultat est admis. |
Théorème des valeurs intermédiaires. | On peut présenter une idée de la démonstration en s’appuyant sur un principe de dichotomie. |
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 5554
On pose ...
exo7 571
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 574
Soit \(n \geq 1\).
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5856
On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6070
Existe-t-il une application continue \(f\) de \([0,1]\) dans ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 608
Montrer que si une fonction \(f\) définie sur \(E\subset\R\) est continue en ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 6133
Soit \(n\to r_n\) une bijection de \(\Nn\) sur ...
exo7 6147
Existe-t-il une application continue \(f:{\R}\to{\R}\) telle que \(f(x)\in\Qq\) s ...
exo7 615
Soit \(f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+\) croissante telle que ...
exo7 6153
Soit \(I=[a,b]\) et \(f : I\to\R\) dérivable ; soit ...
exo7 616
Calculer lorsqu’elles existent les limites suivantes ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 618
Montrer que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*},\) et pour tout couple de nombres réels ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 620
Rappeler que pour tout nombre réels \(\epsilon > 0\) il existe un entier \(n\) ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6244
Parmi les métriques suivantes définies sur \(\Rr\), lesquelles sont uniformément équivalentes à la métrique usuell ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 640
Soit \(f\) une fonction de \(\lbrack a,b \rbrack\) dans ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 642
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\R\) une fonction continue telle que \(f(a)=f(b)\). ...
exo7 643
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue telle que ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 645
Soient \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 647
Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) t ...
exo7 648
Soit \(f\) croissante sur \([a, b]\) et prenant toute valeur entre ...
exo7 649
Soit \(f:\Rr\rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...