Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
exo7 4680
On pose ...
exo7 4681
Soit \(a \in \C\setminus \mathbb{U}\). Étudier la suite de terme général : ...
exo7 4682
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On pose ...
exo7 4683
Soit \((b_n)\) une suite réelle strictement croissante tendant vers ...
exo7 4684
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergente, et ...
exo7 4685
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites convergeant vers ...
exo7 4686
Soit \((x_n)\) une suite réelle et \(\alpha \in\, ]0,1[\). On pose ...
exo7 4687
Soit \((x_n)\) une suite bornée telle que ...
exo7 4688
Soit \(x \in \R^*\) et \((r_n)\) une suite de rationnels convergeant vers ...
exo7 4689
Pour \(n \in \N^*\), on note \(S(n)\) la somme des chiffres de l’écr ...
exo7 4690
On considère l’équation : \(x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0\).
exo7 4692
Soit \((x_n)\) une suite bornée de réels. On pose : ...
exo7 4693
Soit \((x_n)\) une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0.
exo7 4694
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0. Montrer qu’il existe une b ...
exo7 4695
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...
exo7 4696
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...
exo7 4697
Soit \(u_n = \sqrt{ n + \sqrt{ n-1 + \dots + \sqrt 1 }}\).
exo7 4702
Soit \(u_0\in\N^*\) et \((u_n)\) la suite définie par la relation de ...
exo7 4703
Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :
exo7 4705
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que pour tout entier \(n\) : ...
exo7 4706
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots + \sqrt{1}}}\) (\(n\) radic ...
exo7 4707
On considère la suite \((u_n)\) définie par : ...
exo7 4708
On pose \(u_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{ \dots + \sqrt{n-1 +\sqrt n}}}}\) et ...
exo7 4709
Soient \(a,b \in \R^*\). On définit la suite \((u_n)\) par : ...
exo7 471
Soit \(E\) l’ensemble des réels de la forme \(\frac{n-1/n}{n + 1/n}\) avec ...
exo7 4710
Soient \(0 < x_0 < y_0\) et \((x_n)\), ...
exo7 4711
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4712
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4713
Soient \(0 < a < b\) et \((x_n),(y_n)\) les suites définies pa ...
exo7 4714
Soient \(x,y,z \ge 0\). Montrer que \(x^3+y^3+z^3 - 3xyz \ge 0\) (mettre ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4717
Soit \(A\) une partie bornée de \(\R\) ayant un seul point d’accumul ...
exo7 472
Soit \(E=\{\frac{1}{n}\cos n \mid n \in\mathbb{N}^* \}\) ; calculer \(\inf E\) e ...
exo7 4721
Soit \(a > 1\). Montrer qu’il existe une suite réelle bornée, ...
exo7 4722
Soit \((u_n)\) une suite réelle bornée telle que ...
exo7 4724
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la suite \((\exp(iu_n))\) ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4726
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée et ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 4761
Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...
exo7 4766
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 478
Donner la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de l’ensemble: ...
exo7 481
Si \(a= \sup A\), montrer qu’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge ...
exo7 4820
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 484
Soit \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite bornée. On pose ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...