Programme de mathématiques BCPST, seconde année
b) Cas de la dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base. | |
Une application linéaire est un isomorphisme si, et seulement si, l’image d’une base est une base. | Tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $\mathbb{K}^n$. |
Rang d’une application linéaire. | |
Théorème du rang. | Résultat admis. |
Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, il y a équivalence entre l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité. | On soulignera, à travers un exemple, que ce n’est pas le cas en dimension infinie. Toutefois, aucun exemple ne sera exigible des étudiants. |
exo7 1029
Soit \((f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}\) où \(E\) est un ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3492
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3637
Montrer l’existence et l’unicité d’une forme linéaire \(\Phi\) sur \(\R_n[X]\) te ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3643
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3647
Soit \(E\) un \(K\)-ev. On suppose qu’il existe ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3650
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3651
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie.
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5190
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...