Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Structure vectorielle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Structure d’espace vectoriel. Règles de calcul. | On met plus particulièrement en valeur les espaces vectoriels suivants : $\mathbb{K}^n$, $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, l’ensemble des applications définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}[X]$, $\mathbb{K}_n[X]$. L’étude d’espaces de suites n’est pas un attendu du programme. |
Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. Sous-espaces vectoriels. Intersection d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. | |
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. | On introduit la notation $\mathrm{Vect}(x_1,x_2,\dots,x_k)$. |
Famille génératrice finie d’un espace vectoriel (sous réserve d’existence). Famille libre finie. Famille liée finie. Exemple fondamental de famille libre : toute famille finie de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Base finie d’un espace vectoriel (sous réserve d’existence). Coordonnées d’un vecteur dans une base. Matrice des coordonnées d’une famille finie de vecteurs dans une base. | |
Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$ et $\mathbb{K}_n[X]$. | D’autres exemples peuvent être proposés, mais les attendus du programme se limitent aux cas mentionnés. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1017
Soient \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3324
Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élém ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4881
Soient \(A_1,\dots,A_n\) \(n\) points de ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5174
Soit ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6868
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 892
Montrer que l’ensemble ...
exo7 896
Montrer que \[F=\{f\in C(\Rr,\Rr)|\exists (A,\phi )\in \Rr^{2},\forall x\in \Rr,f(x)=A\cos (x+\phi )\}\] est un e ...
exo7 912
Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les trois fonctions ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 917
Soit \(\alpha \in \Rr\) et \(f_\alpha : \Rr \to \Rr\), ...
exo7 918
Montrer que les familles suivantes sont libres dans \({\Rr}^{{\Rr}},\) et ce quelque soit ...