Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Éléments propres
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’une matrice carrée. | On appelle spectre de l’endomorphisme $f$ (respectivement de la matrice $A$) l’ensemble des valeurs propres de $f$ (respectivement de $A$). En dimension finie, on fait le lien entre les éléments propres d’un endomorphisme et ceux d’une matrice qui le représente dans une base. |
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les éléments diagonaux de cette matrice. |
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2586
I
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matr ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2609
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2763
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2767
On considère la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3500
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\).
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3508
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante ( ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...