Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application différentiable au point $a$. | Notation $o(h)$. Développement limité à l’ordre 1. Lorsque $f=(f_1,\dots,f_p)$, $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si toutes les $f_i$ le sont. |
Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ est continue en $a$ et dérivable en $a$ selon tout vecteur. | |
Différentielle de $f$ en $a$, encore appelée application linéaire tangente à $f$ en $a$. Unicité de la différentielle et relation $\mathrm{d}f(a)\cdot v=\mathrm{D}_vf(a)$. | Notation $\mathrm{d}f(a)$. |
Application différentiable sur un ouvert $\Omega$. Différentielle sur $\Omega$. | Notation $\mathrm{d}f$. |
Cas particuliers : application constante, application linéaire. | |
Lien entre différentielle et dérivées partielles. | Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et si $f$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^m$, la matrice jacobienne de $f$ en $a$ est la matrice de $\mathrm{d}f(a)$ dans les bases canoniques. |
Cas des fonctions d’une variable : si $\Omega$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, la différentiabilité de $f$ en $a$ équivaut à la dérivabilité de $f$ en $a$ ; relation $f'(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot1$. | |
Si l’espace $E$ est euclidien, gradient en $a$ d’une application numérique différentiable en $a$. Expression du gradient en base orthonormée. | Notation $\nabla f(a)$. Interprétation géométrique : si $\nabla f(a)\neq0$, $\nabla f(a)$ est positivement colinéaire au vecteur unitaire selon lequel la dérivée de $f$ en $a$ est maximale. |
exo7 2632
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2635
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles de sommes, produits ...
exo7 2637
Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2651
Soit \(f:D\subset \R^m\to\R^n\) et \(a\in D\). Donner la définition de “ ...
exo7 2685
Dans \(\R^3\), soit \({\bf U}\) un champ vectoriel arbitraire, ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4115
Soit \(n>0\) et ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4172
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que ...
exo7 4176
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\C)} \to {\mathcal{M}_n(\C)}, M \mapsto {\exp(M).}\)
exo7 4177
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f : E \to E\) de classe ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 5555
Déterminer la classe de \(f\) sur \(\Rr^2\) où ...
exo7 5893
Soit \(f\) une application de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 5895
Soit ...
exo7 5899
Déterminer la différentielle en tout point de ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 5905
Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en to ...
exo7 5907
Soit \(\omega=x^2dx+y^2dy\). Calculer l’intégrale de \(\omega\) le long de tout c ...
exo7 6255
Soit \(H\) un espace préhilbertien sur \(\Rr\), et ...
exo7 6256
Soit \(a\in \Rr^n\) et \(f:{\Rr^n}\backslash\{a\}\to {\Rr^n}\) définie par ...
exo7 6257
Soit \(B\) une application bilinéaire de \(E\times F\) dans ...
exo7 6261
Soient \(E,F\) des espaces normés, \(\Omega\) un ouvert de ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6287
Soient \(E_1,E_2\) et \(F\) des espaces normés et ...
exo7 6289
Soit \(f:\Rr^n\to\Rr^n\) de classe \(C^2\) telle que, pour tout ...
exo7 6292
Une fonction \(f:U \subset \Rr^n \to \Rr\) est dite harmonique si ...
exo7 6295
Soit \(U\) l’ouvert \(\Rr^3\) privé de l’axe des ...
exo7 6297
Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...
exo7 6298
Dans \(\Rr^n\), on pose ...