Programme de mathématiques MP, MPI
d) Endomorphismes et matrices carrées diagonalisables
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie est dit diagonalisable s’il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. | Une telle base est constituée de vecteurs propres. Cas des projecteurs, des symétries. |
Pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit que la somme de ses sous-espaces propres soit égale à $E$. | Caractérisation par la somme des dimensions des sous-espaces propres. |
Une matrice carrée est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. | Interprétation en termes d’endomorphisme. Dans les exercices pratiques, on se limite à $n=2$ ou $n=3$. |
Cas d’un endomorphisme d’un espace de dimension $n$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. | Traduction matricielle. |
Pour qu’un endomorphisme $u$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que $\chi_u$ soit scindé et que, pour toute valeur propre de $u$, la dimension de l’espace propre associé soit égale à sa multiplicité. | Traduction matricielle. Cas où $\chi_u$ est scindé à racines simples. |
exo7 2581
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2583
Soit ...
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2586
I
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matr ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2601
Soit \(A\) la matrice suivante : ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2609
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2767
On considère la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3503
Diagonaliser ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3507
Soit ...
exo7 3510
Soit \(E = K_n[X]\) et ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3517
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\C)\). L’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 3525
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(\lambda \in K\) une valeur propre de ...
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3527
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(a_{ij} = \frac ij\). ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3543
Soient \(E\) un ev de dimension finie sur \(\C\) et ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3545
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}\)
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3547
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que ...