Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...
exo7 5591
Soient \(p_1\),..., \(p_n\) ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5593
Soit \(E\) un espace vectoriel. Soit \(G\) un sous-groupe fini de ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5599
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel non nul de dimension finie ...
exo7 5600
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient ...
exo7 5601
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kk\)-espaces vecto ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5608
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5632
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5633
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5674
\(E =C^0(\Rr,\Rr)\). Pour \(f\) élément de \(E\) ...
exo7 5679
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5775
On note \(E\) l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5797
Trouver tous les endomorphismes de \(\Rr^3\) vérifiant ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
exo7 5821
L’espace de dimension \(3\) est rapporté à un repère orthonormé \((O,i,j,k)\). On ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 5854
On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 602
Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6158
Dans \(\Rr^2\) on considère l’ensemble \(A\) des points dont une coordonnée au mo ...
exo7 6188
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\Cc\) de boule unité fermée ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6363
Soit \(A\in {\cal L}(\Rr^n)\) et \(0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda\) valeur p ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6389
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine et \(\tau_l\) la réflexion par rappo ...
exo7 6391
Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).