Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Matrices
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et la relation d’équivalence qui s’en déduit sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ ;
- introduire brièvement la relation de similitude sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1681
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\) et soient \(\lambda_1,...,\lambda_n\) ses valeurs ...
exo7 1686
Trigonaliser les matrices réelles suivantes :
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1719
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur ...
exo7 1722
Donner un exemple de deux matrices de \(\mathcal{M}_4(\Rr)\) ayant même polynôme caractéristique et même polynôme ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1973
Soit \(R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})\) un repère cartésien d’un espace affine. Soient ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...