Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Matrice d’une application linéaire dans des bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases, d’un endomorphisme dans une base. Isomorphisme d’espaces vectoriels de $\mathscr{L}(E, F)$ sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ induit par le choix d’un couple de bases. Isomorphisme d’espaces vectoriels et d’anneaux de $\mathscr{L}(E)$ sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ induit par le choix d’une base. Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire. | Exemple : matrice, dans la base $(1, i)$ de $\mathbb{C}$ vu comme plan vectoriel réel, de la similitude de multiplicateur $a + ib$. |
Matrice d’une composée d’applications linéaires. Lien entre matrices inversibles et isomorphismes. | Cas particulier des endomorphismes. |
exo7 1081
Soit \(h\) l’homomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dans ...
exo7 1082
Soit \(h\) une application linéaire de rang \(r\), de ...
exo7 1083
On désigne par \(\mathcal{P}_2\) l’espace des polynômes sur \(\mathbb{R}\) de deg ...
exo7 1084
Soit \(f : \C \rightarrow \C\) l’application \(z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} .\) ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1086
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), ...
exo7 1087
Soit \(\Rr^2\) muni de la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})\). Soit ...
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1089
Soient \(A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1090
Soit \(\varphi\) une application linéaire de \({\Rr}^2\) dans lui-même telle que ...
exo7 1091
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
exo7 1092
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et ...
exo7 1093
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f\) une applica ...
exo7 1094
Soit \(f\) l’application de \(\Rr_n[X]\) dans ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1096
Soit \(E\) un espace à \(n\) dimensions et \(f\) ...
exo7 1097
Soient trois vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) formant une base de \(\Rr^3\). On note ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1101
Soit ...
exo7 1103
Soit \(f \in \mathcal{L} (\Rr^3)\) de matrice ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1106
Soient \(A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1408
Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une pe ...
exo7 1477
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\R^{3}\) de la projection orthogonale sur le plan d’équation ...
exo7 1484
Quelle est la transformation de \(\Rr^{3}\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 1485
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{4}\) de la projection orthogonale sur ...
exo7 1517
Dessiner l’allure du Shadock ci dessous après qu’il ait subi l’action de l’endomorphisme de \(\R^{2}\) dont la mat ...
exo7 1518
Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la transformation subie par chacun des Shadocks ci-dessous. ...
exo7 1544
Déterminer la nature des transformations de \(\R^{3}\) dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes ...
exo7 1550
Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme ...
exo7 1555
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1557
Que peut-on dire d’une matrice carrée réelle à la fois symétrique et orthogonale ? Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’endom ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...