Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 1725
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1968
Un cône d’un espace vectoriel est une partie \(K\) telle que : ...
exo7 1970
Soit \(E\) un espace affine de dimension \(n,\) et ...
exo7 1971
Une bimédiane d’un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. ...
exo7 1980
Soit \(E\) un espace affine, \(f\) une application affine de ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 1989
Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...
exo7 1995
Soit \((0, \vec{i}, \vec{j})\) un repère du plan. Déterminer l’expression analytique dans ce repère de la réflexio ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2025
Déterminer l’expression analytique de la réflexion \(s\) de plan \(x + y-z = 1\). ...
exo7 2027
Soit deux plans ...
exo7 2036
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2037
On considère \(S_1\) la transformation du plan définie par le système d’équations suivant :
...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2428
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F, G\) deux sous-espaces de ...
exo7 2429
Soit \(E = \R[X]_n\) (polynômes de degré \(\le n\)), et ...
exo7 2430
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2436
Soit \(e = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\R^3\) et ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2585
Soient \(A\) et \(B\) des matrices non nulles de ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...