Parcourir les exercices

Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...

On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...

Soit \(\alpha > 0\). On pose ...

Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...

Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...

Pour \(n \in \N\) on note \(T_n\) le nombre de manières de décomposer ...

Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...

Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...

Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.

Étudiez la suite de terme g ...

Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...

On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Calculer \(\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}\) en fonction de ...

On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...

Montrer que pour \(x\in\C\), \(|x|<1\), on a l’égalité : ...

Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).

Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...

Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...

On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...

Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...

Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...

Soit \(u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)\) et ...

Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).

Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...

Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...

[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.

Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...

On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...

Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}\) et ...

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...