Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- ★ introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée et en établir les principales propriétés.★
exo7 1973
Soit \(R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})\) un repère cartésien d’un espace affine. Soient ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 1988
Reconnaître les transformations géométriques dont les matrices respectives dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) s ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2112
Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...
exo7 2113
On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme
...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2210
Soit \(n \in \Nn\) et on définit les matrices suivantes dans \(\Rr^{n\times n}\): ...
exo7 2211
Démontrer l’identité \[(A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}\] en précisant:
-
...
exo7 2213
Montrer que si \(\rho (A) <1\) alors
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2216
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\) de rang \(r\leq p=\min (m,n)\). On considère la déco ...
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2224
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bande au sens suivant : ...
exo7 2225
Soit \(A\) une matrice symétrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l’on peut écrire ...
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2228
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) telle que \(A^T\) soit à diagonale strictement domin ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2235
Soit \(a\in\Rr\) et ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2433
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice par rapport à la base cano ...
exo7 2434
Soit \(A\) une matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2437
Soit \(A\) une matrice carrée.
exo7 2438
Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2442
Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de ...
exo7 2443
On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétriq ...
exo7 2444
Soient \(A, B\) deux matrices semblables (i.e. il existe \(P\) inversible telle q ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...
exo7 2446
Une matrice carrée réelle \(A\) est dite stochastique si ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2449
Calculer le rang de la matrice ...
exo7 2450
Dans \(\R^4\), on note \(v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)\), ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.