Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Notions d’intégrale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue et positive $f$ sur un segment $[a,b]$ : il s’agit de l’aire sous la courbe. Elle est notée $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. | La notion d’aire est ici intuitive et ne doit pas soulever de question théorique. |
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque. | Définition à partir de la partie positive et de la partie négative de la fonction. |
Extension de la définition au cas $b \leqslant a$. | |
Sommes de Riemann sur $[a, b]$ : $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right)$ | La notion d’aire étant admise, on admettra la convergence de la suite des sommes de Riemann dans le cas $\mathscr{C}^0$ et on pourra la justifier dans le cas $\mathscr{C}^1$. On observera que la formule n’était pas si intuitive : les erreurs élémentaires vont en rapetissant, mais sont aussi de plus en plus nombreuses. ⇌ Algorithme de calcul approché d’une intégrale. |
exo7 1274
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue telle que \(f(0)=0 .\) ...
exo7 1275
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.
exo7 1276
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...
exo7 1277
Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
exo7 1284
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1286
Donner un exemple d’une fonction continue positive telle que : \[\int_{0}^{\infty }f(u)du\] existe mais telle qu’ ...
exo7 1288
Soit \(f\) une application continue par morceaux de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1289
Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1290
Étudier la nature de \[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt\] selon ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1300
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) continue, tendant vers \(\ell\) en ...
exo7 1301
Calculer : ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1739
Soit \(g\in C({\Rr},{\Rr})\), montrer que \(g\) est convexe si et seulement si : ...
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2081
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,4]\) par ...
exo7 2082
Soient les fonctions définies sur \(\R\), ...
exo7 2083
Calculer l’intégrale de \(f:[a,b]\rightarrow \R\) comme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants: ...
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2086
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...
exo7 2093
Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)
exo7 2098
Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...
exo7 2099
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2316
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle \([a,b]\subset\Rr\), à valeurs ...
exo7 2324
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période ...
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2722
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\), \(\beta\), tels que pour tout ...
exo7 3676
Soient \({f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}\) continues.
Existe-t-il ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3836
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions : \([a,b] \to \R^{+*}\) continues et ...
exo7 3939
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue telle que ...
exo7 3957
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4078
Soit \(E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}\) et ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4220
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour toute fonction ...
exo7 4221
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue non identiquement nulle, telle que : ...
exo7 4223
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et \(g : \R \to \R\) continue convexe.
...exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...