Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Algèbre linéaire 1 – Espaces vectoriels
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Ce chapitre reprend les concepts présentés en première année dans un cadre limité ($\mathbb{K}^n$) et les adapte brièvement à d’autres espaces, de dimension finie ou non.
La notion de somme de sous-espaces vectoriels n’est pas au programme.
On travaille uniquement dans des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $\mathbb{K}$ désignant $\mathbb{R}$ ou bien $\mathbb{C}$. Lorsqu’un espace est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, le considérer comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel n’est pas un attendu du programme. Il n’est pas dans l’esprit du programme de rentrer dans des détails techniques comme parler de $\mathbb{R}$-base, $\mathbb{C}$-base, $\mathbb{R}$-dimension, $\mathbb{C}$-dimension.
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1015
Soit \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 1016
Montrer que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.
exo7 1017
Soient \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3319
Soit \(0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1\) une subdivision de \([0,1]\) et ...
exo7 3321
Soit \(E = H \oplus K\) et \((\vec e_1,\dots,\vec e_k)\) une base de ...
exo7 3324
Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élém ...
exo7 3325
Soient \(H \subset K \subset L\) trois sous-corps de \(\C\).
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3343
Un endomorphisme \(f \in \mathcal{L}(E)\) est dit nilpotent s’il existe ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3626
Dans \(K^3\) on considère les formes linéaires : \(f_1(\vec x) = x+2y+3z\), ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3633
Soit \(E = K_n[X]\) et \(a,b \in K\) distincts. On pose ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4881
Soient \(A_1,\dots,A_n\) \(n\) points de ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5174
Soit ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5568
Soit \(f(x) =\ln(1+x)\) pour \(x\) réel positif. Soient ...