Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 388
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 285
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 482
Soit \(A= \mathbb{Q}\cap\mathopen]0,1 \mathclose[\) et \(a,b\in\mathbb{R}_+\). On ...
exo7 4856
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 487
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 493
Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...
exo7 497
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...
exo7 4982
Étudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes :
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4995
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5084
Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :
exo7 5086
Etablir pour ch, sh et th les formules d’addition, de duplication et de linéarisation.
exo7 5088
Simplifier les expressions suivantes :
exo7 5089
Calculer \(\Arctan\frac{1}{2}+\Arctan\frac{1}{5}+\Arctan\frac{1}{8}\).
exo7 5091
Etudier \(f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x\).
exo7 5092
On considère la fonction numérique \(f\) telle que :
...
exo7 5093
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0\).
exo7 5094
Montrer que pour tout réel \(x\) non nul, on a : ...
exo7 5096
Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5098
Trouver la plus grande valeur de \(\sqrt[n]{n}\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5099
Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5149
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), ...
exo7 5151
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...
exo7 5161
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).
(commencer par vérifier que ...
exo7 5219
Montrer que \(\{r^3,\;r\in\Qq\}\) est dense dans \(\Rr\).
exo7 5258
Pour \(x\) réel, on pose :
...
exo7 5383
Soit \(f\) une fonction définie sur un voisinage de \(0\) telle que ...
exo7 5391
Soit \(f\) une fonction continue et périodique sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5395
Soit \(f\) croissante de \([a,b]\) dans lui-même. Montrer que ...
exo7 5402
Soit \(f\) une application continue sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 5403
Trouver un exemple de fonction pèriodique dont le groupe des pèriodes est dense dans \(\Rr\) mais pas ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 5406
Soit \(f\) une application de \([0,1]\) dans ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5411
Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), ...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 5423
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5428
Soit \(0<a<b\). Etude complète de la fonction ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...