Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 948
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f\). Montrer que ...
exo7 949
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer que ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 951
Donner des exemples d’applications linéaires de \(\Rr^{2}\) dans \(\Rr^{2}\) véri ...
exo7 952
Soit \((u,v)\in (L(E))^{2}\), tels que \(u^{2}=u\) et ...
exo7 953
Soit \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) une base de \(\Rr^3\), et ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 955
\(E\) étant un espace vectoriel de dimension \(n\) sur ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 957
Soit \(f\in L(E)\) non nul; montrer que \(f\) est injective si et seulement si po ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 959
Soit \(E = \Rr_n[X]\) et soient \(A\) et \(B\) d ...
exo7 960
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f + id\). Montrer que ...
exo7 961
Soit \(E\) un \(\C\)–espace vectoriel et ...
exo7 962
Montrer que si \(p<q\) il n’existe pas d’application linéaire surjective de ...
exo7 963
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 965
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(\varphi\) et ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 967
Soit \(E\) un espace vectoriel; on note \(i_E\) l’identité sur ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 970
Soit \({f} : {\Rr^2} \to {\Rr^2}\), ...
exo7 971
\(E\) est un \(\Rr-\)espace vectoriel, \(F\) et ...
exo7 972
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 973
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 974
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 975
Soit \(E=\Rr[X]\) l’espace vectoriel des polynômes, et \(f:E\rightarrow E\) défin ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 980
Soient \(\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)\) d ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 982
On considère dans \(\mathbb{R}^4\), \(F=\mbox{lin}\{a,b,c\}\) et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 984
Dans \(\mathbb{R}^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 985
Vrai ou faux ? On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimensi ...
exo7 986
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
exo7 987
Dans \(\mathbb{R}^3\), les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent ...
exo7 988
Dans \(\mathbb{R}^3\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
exo7 990
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 993
Dans l’espace vectoriel \(\mathcal{P}_2\) des polynômes de degré \(\leq 2\), on c ...
exo7 994
Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...
exo7 995
Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), ...