Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 3948
Soit \(f : {[a,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(x) \to f(a)\) lorsque ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3950
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
exo7 3951
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3956
On veut calculer \(\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}\).
exo7 3957
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 3959
Trouver toutes les applications \(f:\R \to \R\) dérivables telles que : ...
exo7 396
Montrer que le polynôme \(P(X)= X^5-X^2+1\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.
exo7 3960
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) dérivable telle que \(f\circ f = f\). Montrer q ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 3962
Soient \({u,v} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions telles que : ...
exo7 3965
Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :
\(f : x \mapsto \arctan x\) ...
exo7 3966
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de \(x \mapsto (x^3+2x^2-5)e^{-x}\).
exo7 3970
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 3971
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle ...
exo7 3972
Soit \(f : \R \to \R\) ...
exo7 3973
Soit \(f:\R \to \R\) continue telle que \(\frac {f(2t)-f(t)}t \to a\) (si ...
exo7 3974
On pose \(f(x) = \sin x - \frac {3x}\pi + \frac {4x^3}{\pi^3}\). Montrer que : ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3978
Trouver toutes les fonctions \(\varphi : \R \to \R\) dérivables telles que ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3980
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f^{2} + (1+f')^{2} \le 1\). Montre ...
exo7 3981
Soit \(f : \R \to \R\) convexe et \(x < y < z\). Montrer que ...
exo7 3982
Soient \(x_1, x_2, \dots, x_n > 0\). Montrer que ...
exo7 3983
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe. Montrer que l’on a :
– soit \(f\) est ...
exo7 3984
Soit \(f : {\R^+} \to {\R}\) convexe et bornée. Montrer que \(f\) est décroissant ...
exo7 3985
Soit \(f : {\R^{+*}} \to \R\) convexe et \(g : {\R^{+*}} \to \R\) affine. On su ...
exo7 3986
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...
exo7 3987
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe dérivable. Montrer que \(f'\) est continue ...
exo7 3988
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable telle que : \(f \ge 0\), ...
exo7 3989
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) deux fois dérivable telle que ...
exo7 3990
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue telle que : ...
exo7 3991
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) convexe, bijective, croissante. On définit les suites ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 3994
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable.
exo7 3995
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {[0,+\infty[}\) concave.
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 3997
Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable, et \(A = (a,b) \in \R^2\). Étudier le n ...
exo7 3998
Soit \(f : \R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4001
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simpleme ...
exo7 4002
Soit \(f:\R \to \R\) convexe dérivable telle que ...
exo7 4003
Soit \(f\) continue et croissante sur \(\R^+\). On pose ...
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4007
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...