Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Procédés sommatoires discrets
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L’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
L’étude des familles sommables est menée dans un deuxième temps. On prolonge les calculs de sommes finies effectués en début d’année, en mettant en évidence un cadre permettant de sommer « en vrac » une famille infinie et procurant ainsi un grand confort de calcul. Dans le cas d’une famille positive, le calcul dans $[0, +\infty]$ se suffit à lui-même et contient l’étude de la sommabilité. Dans le cas d’une famille quelconque, il est préconisé de commencer par un calcul formel à justifier dans un second temps.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.
- a) Convergence et divergence 205
- b) Séries à termes positifs ou nuls 139
- c) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes 61
- d) Théorème des séries alternées 24
- e) Familles sommables de nombres réels positifs 5
- f) Familles sommables de nombres complexes 2
exo7 4459
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.
Étudier la convergence de la série de terme géné ...
exo7 4460
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...
exo7 4461
Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...
exo7 4462
Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...
exo7 4463
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...
exo7 4464
Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...
exo7 4465
On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...
exo7 4466
Soit \(\alpha > 0\). On pose ...
exo7 4467
Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...
exo7 4468
Soient \(a \in {[0,1[}\). Écrire \(\frac1{(1-a)^2}\) comme produit de deux séries ...
exo7 4469
Pour \(n \in \N\) on note \(T_n\) le nombre de manières de décomposer ...
exo7 4470
Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...
exo7 4471
Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...
exo7 4472
Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...
exo7 4473
Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...
exo7 4474
Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.
exo7 4475
Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), ...
exo7 4476
Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...
exo7 4479
Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4481
Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...
exo7 4482
Soit \((u_n)\) une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro.
Étudiez la suite de terme g ...
exo7 4483
Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...
exo7 4484
On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...
exo7 4486
Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...
exo7 4490
Étudier la finitude des sommes suivantes :
exo7 4491
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).
exo7 4492
Calculer \(\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}\) en fonction de ...
exo7 4493
On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...
exo7 4494
Montrer que pour \(x\in\C\), \(|x|<1\), on a l’égalité : ...
exo7 4495
Soit \(z\in\C\) tel que \(|z| < 1\). Montrer que ...
exo7 4496
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}\).
exo7 4497
Soient \(a,b,c\in\N^*\). On pose ...
exo7 4498
Calculer les sommes suivantes : \(A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}\), ...
exo7 4499
On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour \(p\) termes positifs puis ...
exo7 4500
Soit \(P\in\R[X]\). Vérifier que : ...
exo7 4501
Soit \((a_i)_{i\in I}\) une famille sommable et \((I_n)_{n\in\N}\) une suite croi ...
exo7 4502
Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...
exo7 4536
Soit \(u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)\) et ...
exo7 4543
Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4551
Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4569
On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par : ...
exo7 4570
Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R > 0\). Déte ...
exo7 4582
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : ...
exo7 4583
Montrer l’existence de \(f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k\) pour \(z\in\C\), ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)