Programme de mathématiques PSI
B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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La réduction des endomorphismes et des matrices carrées permet d’approfondir les notions étudiées en première année. Il est attendu des étudiants qu’ils maîtrisent les deux points de vue suivants :
- l’aspect géométrique (sous-espaces stables, éléments propres) ;
- l’aspect algébrique (utilisation de polynômes annulateurs).
L’étude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynôme minimal.
- a) Éléments propres 251
- b) Polynôme caractéristique 185
- c) Diagonalisation en dimension finie 203
- d) Diagonalisabilité et polynômes annulateurs 64
- e) Trigonalisation en dimension finie 26
Diagonalisation et calcul de puissance
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.\]
Etude d'une méthode itérative
Soit \(A \in \mathcal{M}_N(\R)\) une matrice réelle symétrique définie positive et ...
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1138
Pour \((a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}\), on note \(A_{(a_{0}\dots a_{n})}\) la ma ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1177
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2&2&0\\1&2&1\\0&2&2\\ \end{pmatrix}\). Déterminer les ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1190
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et ...
exo7 1378
Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(\Rr\).
exo7 1526
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1529
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1531
Soit \(A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)\). Montrer que \(S = {}^t\! A\cdot A\) es ...
exo7 1547
Soit \(A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}\) une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeu ...
exo7 1551
A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et ...
exo7 1552
Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur ...
exo7 1560
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_2(\Rr)\) et une matrice orthogonale ...
exo7 1564
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1578
Déterminer toutes les matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_{2,2}(\R)\) telles que ...
exo7 1579
Énoncer le théorème de Cayley-Hamilton. Le démontrer dans le cas particulier où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1591
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1595
On considére la matrice ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1597
Soit \(m \in \R\) et \(A_m\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1598
Soit \(A \in \mathcal{O}_n(\R)\). Montrer que si \(-1\) n’est pas valeur propre d ...
exo7 1599
Soient \(E\) un K-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1600
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphisme s d’un espace vectoriel ...
exo7 1601
Soient \(A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )\) et ...
exo7 1602
Soit \(u\in\mathrm{End}(E)\). On note ...
exo7 1603
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1606
Soit \(J\) la matrice ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1610
On considère l’application suivante : ...
exo7 1611
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1616
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{array}\right ).\) Diagonalise ...
exo7 1617
Soit \(A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).\) Trouver, sans ...