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Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).

Calculer les sommes des séries suivantes :

Convergence et somme de la série de terme général ...

Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...

Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soit \(a \in \R\).

Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de \(u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k\). La série de terme général ...

Trouver la partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}\).

On pose \(u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k\). Donner un équivalent de \(u_n\) ...

Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) décroissante. On pose \(u_n = f(n)\) et ...

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Soit la suite de terme général \(u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n\).

Pour \(x > 1\) on note \(\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}\). En compa ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et \(v_n = \frac{u_n}{1+u_n}\). Mon ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive, \(U_n=\sum_{i=0}^n u_i\) et ...

On considère une suite \((u_n)_{n\ge 1}\) telle que la série ...

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...

On donne une suite de réels strictement positifs \((a_n)\), décroissante et de limite nulle. Montrer que la série ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. On pose ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme géné ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive décroissante. On pose ...

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...

Soit \((x_n)\) une suite définie par : \(x_0 > 0\), ...

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(0 < u_0 < 1\) et ...

Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...

On se donne \(u_1\) et \(a\) deux réels strictement positifs et l’on définit par ...

Soit \(\alpha > 0\). On pose ...

Soient \(\sum a_n\), \(\sum b_n\), \(\sum c_n\) ...

Soit \(\sum u_n\) une série convergente. On pose ...

Soit \((a_n)\) une suite bornée telle que pour tout entier \(p \ge 2\) : ...

Soit \(\sum_{n\ge1} x_n\) une série absolument convergente telle que pour tout entier ...

Soient \(k,p \in \N\) avec \(k \le p\). Montrer que ...

Soit \((u_n)\) une série convergente à termes positifs décroissants.

Soit \((a_n)\) une série positive convergente, \(A = \sum_{k=0}^\infty a_k\), ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive et \((u_n)\) la suite définie par la rel ...

Soit \(\cal S\) l’ensemble des suites croissantes d’entiers \((q_i)\) telles que ...

Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...

Soit \((u_n)\) une suite de complexes telle que ...

Soient deux suites de termes généraux \(u_n\) et \(v_n\) définies par la donnée d ...

On considère une suite \((a_n)\) de réels et on définit ...

Soit \(P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}\). Montrer que ...

Étudier la finitude des sommes suivantes :

Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}\).

Calculer \(\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}\) en fonction de ...

On pose \(a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}\) si \(n\ne p\) et ...