Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Généralités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire. | |
Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition. Isomorphisme, réciproque. | Espace vectoriel $\mathscr{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Bilinéarité de la composition. |
Image directe et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire. | |
Image d’une application linéaire. | Notation $\operatorname{Im}u$. |
Noyau d’une application linéaire. Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille finie génératrice de $E$ et si $u\in\mathscr{L}(E,F)$, alors $\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(x_i))_{i\in I}$. | Notation $\operatorname{Ker}u$. Caractérisation de l’injectivité. |
Application linéaire de rang fini. Le rang de $v\circ u$ est majoré par $\min(\operatorname{rg}(u),\operatorname{rg}(v))$. Invariance du rang par composition par un isomorphisme. | Notation $\operatorname{rg}(u)$. |
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2771
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire ...
exo7 3172
Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
exo7 3173
Soit \(a\in K\) et ...
exo7 3181
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3197
Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...
exo7 3306
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3308
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3310
Soient \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(f\circ g \circ f = f\) et ...
exo7 3311
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).
exo7 3316
Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\). On pose pour \(v\in\mathcal{L}(E)\) : ...
exo7 3327
Soient \(E,F\) deux \(K\)-ev et ...
exo7 3328
Soient \(E\), \(F\) deux ev de dimensions finies et ...
exo7 3329
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Établir :
exo7 3330
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les ...
exo7 3331
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3332
Soient \(E,F\) deux ev, \(E\) de dimension finie, et ...
exo7 3334
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = 0\).
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3342
Soit \(E\) un \(K\)-ev et ...
exo7 3349
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3351
Soient \(u,v \in \mathcal{L}(E)\). Déterminer le rang de l’endomorphisme de ...
exo7 3352
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(\cal A\) une sous-algèbre de ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3355
Soit \(f\in \mathcal{L}(E)\) telle que \(f^2 = 0\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3440
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel qu’il existe deux sev \(F,G\) supplémentaires e ...
exo7 3478
Soit \(A \in \mathcal{M}_{2}(K)\). Chercher le rang de l’application ...
exo7 3490
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que ...
exo7 3492
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3568
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On c ...
exo7 3571
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3627
Pour \(\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n\) on pose \(f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}\) ...
exo7 3634
Soient \(f_1,\dots,f_n\) des formes linéaires sur \(K^n\) telles qu’il existe ...
exo7 3640
On note \(f_n(x) = \cos nx\) et \(g_n(x) = \sin nx\) ( ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3647
Soit \(E\) un \(K\)-ev. On suppose qu’il existe ...
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3759
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}\) Avec la structure ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...