Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Espaces vectoriels
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Structure de $\mathbb{K}$-espace vectoriel. | Espaces $\mathbb{K}^n$, $\mathbb{K}[X]$, $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. |
Espace vectoriel des fonctions d’un ensemble dans un espace vectoriel. Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. | Espace $\mathbb{K}^\Omega$, cas particulier $\mathbb{K}^\mathbb{N}$. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1000
Pour \(k=2,3,4\) montrer que \(V_{k}\) est un s.e.v. de ...
exo7 1004
Soit ...
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 1013
Déterminer une base de \(D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}\).
exo7 1030
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1056
Soit \(F\) et \(G\) les sous-ensembles de ...
exo7 1057
Montrer que \(F=\{ M\in M_2({\Rr }) ; tr(M)=0\}\) est un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1088
Soit \({\Rr}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1968
Un cône d’un espace vectoriel est une partie \(K\) telle que : ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2430
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3300
Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3306
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...
exo7 3323
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((F_i)_{i\in I}\) une famille de sous-esp ...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3422
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3670
Soient \(F\), \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5165
On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5166
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel. Soient ...
exo7 5168
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...
exo7 5169
Montrer que \(a=(1,2,3)\) et \(b=(2,-1,1)\) engendrent le même sous espace de ...
exo7 5172
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5173
Dans \(E=\Rr^4\), on considère ...
exo7 5174
Soit ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...