Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
c) Produit vectoriel dans l’espace orienté
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non colinéaires, alors le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\vec{n}$ orthogonal au plan $\operatorname{Vect}(\vec{u},\vec{v})$, de norme $\lVert\vec{u}\rVert\lVert\vec{v}\rVert\lvert\sin(\vec{u},\vec{v})\rvert$, tel que $(\vec{u},\vec{v},\vec{n})$ soit une base directe ; sinon le produit vectoriel est le vecteur nul. | Notation $\vec{u}\wedge\vec{v}$. La notion d’orientation de l’espace, reposant sur les conventions physiques usuelles, est admise. Interprétation de $\lVert\vec{u}\wedge\vec{v}\rVert$ comme aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. |
Bilinéarité, antisymétrie, expression dans une base orthonormée directe. Condition de colinéarité de deux vecteurs. | Les démonstrations sont hors programme. |
Décomposition d’un sous-espace de $\mathbb{R}^3$
On considère dans \(\mathbb{R}^3\) l’ensemble ...
Espaces vectoriels engendrés dans $\mathbb{R}^3$
Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère \(u=(1,1,0)\), ...
exo7 1007
Montrer que les systèmes \({\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)\) et ...
exo7 1034
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in L(E)\), montrer l’équ ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1110
Montrer que l’espace des formes bi-linéaires sur \(\R^{2}\) est un espace vectoriel. En donner une base.
exo7 1379
Soient \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1462
Soit \(E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-périodique}\right\}\). Montrer que ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1469
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1499
\(\Rr^3\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2425
VRAI ou FAUX
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 3168
On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...
exo7 3301
Étudier la liberté des familles suivantes :
exo7 3302
On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.
exo7 3341
Soit \(E\) un \(\R\)-ev et ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3604
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3610
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(\lambda = a+ib\) une valeur propre non réel ...
exo7 3628
Soit \(E = K_n[X]\). Montrer que la famille \({\cal F} = (f_0,\dots,f_n)\) est u ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3639
Soit \(f : {\R^2} \to \R\). On dit que \(f\) est polynomiale si elle est de la fo ...
exo7 3673
Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 4738
Soient \(\vec x,\vec y,\vec z\) trois vecteurs d’un evn \(E\) tels que ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5176
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vecto ...
exo7 5179
Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...
exo7 5180
Dans \(E=\Rr^\Rr\), étudier la liberté des familles suivantes \(A\) de vecteurs d ...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...