Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
exo7 2437
Soit \(A\) une matrice carrée.
exo7 2438
Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.
exo7 2439
Soit \(G\) l’ensemble des matrices de la forme ...
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2443
On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétriq ...
exo7 2444
Soient \(A, B\) deux matrices semblables (i.e. il existe \(P\) inversible telle q ...
exo7 2445
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant pour tout ...
exo7 2446
Une matrice carrée réelle \(A\) est dite stochastique si ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2448
Calculer les déterminants suivants ...
exo7 2452
Calculer par récurrence le déterminant ...
exo7 2456
Calculer le déterminant ...
exo7 2457
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\), ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2465
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) tridiagonale, c’est-à-dire telle que ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2477
Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2565
Soit \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) une matrice carrée \(n\times n\). On veut d ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2588
Soit \(N\) une matrice nilpotente, il existe \(q\in\N\) tel que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2603
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2747
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 2748
Soient les matrices suivantes : ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 2750
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. ...
exo7 2751
Inverser les matrices suivantes : ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 2754
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2757
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2759
Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières différentes : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...