Programme de mathématiques MP, MPI
g) Polynômes d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Pour $u$ dans $\mathscr{L}(E)$, morphisme d’algèbres $P\mapsto P(u)$ de $\mathbb{K}[X]$ dans $\mathscr{L}(E)$. Le noyau de ce morphisme est l’idéal annulateur de $u$. Son image est la sous-algèbre commutative $\mathbb{K}[u]$ de $\mathscr{L}(E)$. | Traduction matricielle. |
Polynôme minimal d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie, d’une matrice carrée. | Le polynôme minimal est unitaire. Notations $\pi_u,\mu_u,\pi_M,\mu_M$. |
Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors la famille $(u^k)_{0\leqslant k\leqslant d-1}$ est une base de $\mathbb{K}[u]$. | |
Si $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$. | Si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$. |
Les racines de $\pi_u$ dans $\mathbb{K}$ sont les valeurs propres de $u$. |
exo7 1085
Soit \(f\in\mathcal{L}(\R ^3)\) telle que \(f^3=-f\) et ...
exo7 1100
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1380
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...
exo7 1383
Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1580
Réduire la matrice ...
exo7 1581
Soit \(A\in\mathcal{M}_2(\C)\) de trace non nulle. Montrer que toute matrice ...
exo7 1582
Que peut-on dire d’un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie annulé par les polynômes ...
exo7 1583
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1584
Soit \(M\in\mathcal{M}_n(K)\) une matrice diagonale. Si \(P\in K[X]\), calculer ...
exo7 1585
En appliquant la méthode utilisée en cours pour démontrer l’existence d’un polynôme annulateur d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensio ...
exo7 1586
Quel est le polynôme minimal d’un endomorphisme d’une droite vectorielle ?
exo7 1587
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\ge 2\) et ...
exo7 1588
Déterminer les endomorphismes d’un \(K\)-espace vectoriel \(E\) de dimension fini ...
exo7 1589
Montrer que \(P=(X-1)^2(X-2)\) est un polynôme annulateur de la matrice ...
exo7 1590
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1592
Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel ...
exo7 1593
Déterminer le polynôme minimal de la matrice ...
exo7 1594
Soient \(J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)\) et la matrice par blocs à coeffici ...
exo7 1596
On se place dans \(E=\C\,\,^4\) muni de sa base canonique ...
exo7 1604
Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de ...
exo7 1609
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E=\C^{n}\). Soit ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1630
Soit \(f\) un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel \(E\) et ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1652
Soient \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1653
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1655
Soit \(M \in M_n(\mathbb{K} )\) et ...
exo7 1656
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1667
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1679
Montrer que ...
exo7 1682
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1688
Soient les matrices à coefficients réels suivantes ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1696
Les matrices ...
exo7 1698
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1700
Soit \(A\in M_3 (\R )\) telle que \(A^3=-A\) et ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...