Programme de mathématiques MP, MPI
A - Suites et séries de fonctions
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- définir différents modes usuels de convergence des suites et séries de fonctions ;
- étudier la stabilité des propriétés des fonctions par passage à la limite ;
- introduire la thématique de l’approximation, reliée à la notion topologique de densité, à travers deux théorèmes d’approximation uniforme susceptibles de nombreuses applications.
La technique n’est pas un but en soi. On privilégie les exemples significatifs : construction de fonctions solutions de problèmes (équations fonctionnelles ou différentielles, par exemple), mise en évidence de fonctions aux propriétés remarquables...
En vue des applications aux équations différentielles linéaires, les fonctions considérées sont à valeurs dans un espace normé de dimension finie. Dans la pratique, on se limite pour l’essentiel au cas de fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On peut commencer par traiter le programme dans ce cadre et expliquer brièvement l’extension au cas général.
Les fonctions sont définies sur une partie $A$ d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie et à valeurs dans un espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
- a) Convergence simple, convergence uniforme 87
- b) Continuité, double limite 0
- c) Intégration d’une limite uniforme sur un segment 34
- d) Dérivation d’une suite de fonctions 21
- e) Séries de fonctions 11
- f) Approximation uniforme 13
exo7 4532
Étudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions : \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty ne^{-nx}\).
exo7 4533
Étudier la convergence de la série \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{1+x^n}\).
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4535
Établir la convergence simple sur \(\R\) de la série de fonctions : ...
exo7 4536
Soit \(u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)\) et ...
exo7 4537
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{x(x+1)\dots(x+n)}\).
exo7 4538
Étudier la convergence simple, uniforme, de \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \bigl(\Arctan(x+n) - \Arctan(n)\bigr)\) ...
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4541
Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : ...
exo7 4542
Soit \(f\in \mathcal{C}^{\infty}(\R)\). On définit la suite \((f_n)_{n\in\N^*}\) ...
exo7 4543
Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).
exo7 4545
Pour \(n\in\N^*\) et \(x\in[-1,1]\) on pose ...
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4547
Pour \(y\in\R\) et \(n\in\N^*\), on pose ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 4550
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur le compact \(K\), à valeurs r ...
exo7 4551
Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...
exo7 4552
Convergence et limite en \(1^-\) de ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4555
Soin \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) conver ...
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4557
Soit \(f:\R \to \R\) continue, ayant même limite finie \(\ell\) en ...
exo7 4558
On pose pour \(x\in\R\) : ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4591
Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4611
Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4650
Soit \(f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k\).
exo7 4651
Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...
exo7 4652
Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 4657
Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...
exo7 4660
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 5448
On suppose que \(f\) est une fonction de classe \(C^1\) sur ...
exo7 5726
Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme)
...
exo7 5727
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5729
Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une suite de polynômes convergeant uniformément sur ...