Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0, y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k + o(\lVert (h, k)\rVert).$ | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ et l’interprétation de $\displaystyle z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0, y_0)$ à la surface d’équation $z = f(x, y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0, y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
Calcul de dérivées partielles
Une étude des glaciers a montré que la température T à l’instant t (mesuré en jours) à la profondeur \(x\) (mesuré ...
Calcul de dérivées partielles
On pose \(f: \R^2 \to \R\) définie pour tout \((x,y) \in \R^2\) par : ...
Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles au bord du domaine de définition
On considère la fonction \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt{x+5y}\).
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Continuité et dérivées partielles de $f(x,y)=y^2\ln|x|$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Continuité et dérivées partielles en un point
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles et non-différentiabilité en l'origine
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, dérivées partielles, classe $C^1$ et différentiabilité
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Continuité, lignes de niveau et points critiques de $f(x,y)=x^2 y$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Différentiabilité
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Différentiabilité
Soit \(f: \R^2 \to \R,\ (x,y) \mapsto \sqrt[5]{2x^3+y^2}\). On note ...
Différentiabilité
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : \(\)f(x,y) = {
...Différentiabilité d'une fonction de deux variables
On donne \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Différentiabilité en un point
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Domaine, courbes de niveau et continuité
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivée partielle via la règle de dérivation composée
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit \(u \colon t \mapsto u(t)\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
Dérivées partielles
Soit la fonction \(V \colon \R^2 \to \R\) définie par ...
Dérivées partielles et règle des chaînes
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Dérivées partielles, composée et structure d’une fonction
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) une fonction de classe \(C^1\) telle que ...
Etude d'extrema
Soit \(K = \{(x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 16\}\). Pour tout \((x,y) \in K\), o ...
Etude d'extrema
On étudie la fonction de deux variables \[f \colon (x,y) \mapsto x\ln(y)-y\ln(x)\]
Etude d'un fonction de deux variables
On considère trois fonctions de deux variables \(f\), \(g\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques
Soit la fonction \(f\) de deux variables \(x\) et ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
Etude de points critiques et d'une ligne de niveau
On pose \[f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2\]
exo7 1788
Pour chacune des fonctions \(f\) suivantes, étudier l’existence d’une limite en ...
exo7 1798
Soit ...
exo7 1799
Soit ...
exo7 1800
Soit la fonction \(f \colon \R^{2} \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 1801
Soit \(f : \R \rightarrow \R\) dérivable. Calculer les dérivées partielles de : ...
exo7 1802
Soit ...
exo7 1803
Soit \(f : \R^{2} \rightarrow \R\), définie par ...
exo7 1805
Soit \(f\) la fonction définie sur \({\Rr}^{2}\) par :
si ...
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1808
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=e^{x^2+y^2}\) au point \(P(1,0)\) sui ...
exo7 1809
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles premières, des fonctions suivantes :
exo7 1810
On définit la fonction ...
exo7 1811
Soit \(f:\rbrack 0,1\lbrack \times \rbrack 0,1\lbrack \to \R\), ...
exo7 1812
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1813
Soit \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1814
Etudier la différentiabilité et la continuité des dérivées partielles de la fonction \(f:\R^2 \to \R\), ...
exo7 1815
Etudier la différentiabilité en \((0,0)\) des fonctions définies par
exo7 1816
Calculer les dérivées partielles (d’ordre un) des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition.
exo7 1817
Calculer les dérivées partielles (d’ordre un) de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{xy+\frac{x}{y}}\) en ...
exo7 1818
On définit la fonction ...
exo7 1819
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y)=x^2-xy-2y^2\) au point \(P(1,2)\) dan ...
exo7 1820
Calculer les différentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de définition :