Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Matrice d’une application linéaire dans des bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases, d’un endomorphisme dans une base. Isomorphisme d’espaces vectoriels de $\mathscr{L}(E, F)$ sur $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ induit par le choix d’un couple de bases. Isomorphisme d’espaces vectoriels et d’anneaux de $\mathscr{L}(E)$ sur $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ induit par le choix d’une base. Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire. | Exemple : matrice, dans la base $(1, i)$ de $\mathbb{C}$ vu comme plan vectoriel réel, de la similitude de multiplicateur $a + ib$. |
Matrice d’une composée d’applications linéaires. Lien entre matrices inversibles et isomorphismes. | Cas particulier des endomorphismes. |
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1987
Determiner la matrice dans la base canonique de \(\Rr^{3}\) du retournement d’axe ...
exo7 2002
Quelle est l’application ...
exo7 2040
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\).
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2433
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice par rapport à la base cano ...
exo7 2435
Soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(u\) un endomorphisme de ...
exo7 2441
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\), et ...
exo7 2447
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment dérivables à valeurs dans ...
exo7 2458
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\) réelles, et ...
exo7 2466
Soit la matrice ...
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2578
Soient \(a,b,c\) des réels vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\) et ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2776
On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) ...
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3368
Soit \(u\in\mathcal{L}({\R^3})\) ayant pour matrice dans la base canonique ...
exo7 3370
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) ayant même matrice dans toutes les bases de \(E\). ...
exo7 3400
Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
exo7 3406
Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3477
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)\). Chercher ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...