Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Procédés sommatoires discrets
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
L’étude des séries prolonge celle des suites et permet d’appliquer les techniques d’analyse asymptotique. Les objectifs majeurs en la matière portent sur les séries à termes positifs et la convergence absolue. L’étude de séries semi-convergentes est limitée aux exemples fournis par le théorème des séries alternées.
L’étude des familles sommables est menée dans un deuxième temps. On prolonge les calculs de sommes finies effectués en début d’année, en mettant en évidence un cadre permettant de sommer « en vrac » une famille infinie et procurant ainsi un grand confort de calcul. Dans le cas d’une famille positive, le calcul dans $[0, +\infty]$ se suffit à lui-même et contient l’étude de la sommabilité. Dans le cas d’une famille quelconque, il est préconisé de commencer par un calcul formel à justifier dans un second temps.
On se concentre sur la pratique, qui jouera un rôle important en deuxième année.
- a) Convergence et divergence 205
- b) Séries à termes positifs ou nuls 139
- c) Séries absolument convergentes à termes réels ou complexes 61
- d) Théorème des séries alternées 24
- e) Familles sommables de nombres réels positifs 5
- f) Familles sommables de nombres complexes 2
Calcul d'une somme de série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Calcul de sommes
On admet que \(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\).
Convergence de séries
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{3}{4^n}\) est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette ...
Critère de D'Alembert
On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : ...
Domaine de convergence de séries sentières
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Domaine de convergence et somme d'une série sentière
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
Etude d'une série entière
Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1931
Soit \(S= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \displaystyle{\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}}\). Donner une valeur approchée ...
exo7 1932
Etudier la série de terme général ...
exo7 1933
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1939
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1942
Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...
exo7 1943
Soient \(\sum_{n \ge 0} u_n\), \(\sum_{n \ge 0} v_n\) deux séries à termes réels ...
exo7 1944
En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories
GD: cel ...
exo7 1945
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2656
Indiquer pour quelles valeurs de \(\alpha \in\R\) la série ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2723
Soit \((a_n)\) un suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) conv ...
exo7 2724
Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2726
En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...
exo7 2872
Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 3282
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4312
Donnez un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...