Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
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Soit \(E\) un espace vectoriel et soient \(E_1\) et ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 936
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 937
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 938
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 939
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) une application linéaire ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 941
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(\varphi\) une application linéaire de ...
exo7 942
Pour des applications linéaires \(f: E\rightarrow F\), \(g: F\rightarrow G\), éta ...
exo7 943
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 944
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 945
Soient \(f : E \rightarrow F\) et \(g : F \rightarrow G\) deux applications linéa ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 947
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de ...
exo7 948
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f\). Montrer que ...
exo7 949
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\). Montrer que ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 951
Donner des exemples d’applications linéaires de \(\Rr^{2}\) dans \(\Rr^{2}\) véri ...
exo7 952
Soit \((u,v)\in (L(E))^{2}\), tels que \(u^{2}=u\) et ...
exo7 953
Soit \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) une base de \(\Rr^3\), et ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 955
\(E\) étant un espace vectoriel de dimension \(n\) sur ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 957
Soit \(f\in L(E)\) non nul; montrer que \(f\) est injective si et seulement si po ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 960
Soit \(f \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(f^3 = f^2 + f + id\). Montrer que ...
exo7 961
Soit \(E\) un \(\C\)–espace vectoriel et ...
exo7 962
Montrer que si \(p<q\) il n’existe pas d’application linéaire surjective de ...
exo7 963
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 965
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(\varphi\) et ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 967
Soit \(E\) un espace vectoriel; on note \(i_E\) l’identité sur ...
exo7 968
Soient \(P=\{ (x, y, z)\in \R ^3 ; 2x+y-z=0\}\) et ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 970
Soit \({f} : {\Rr^2} \to {\Rr^2}\), ...
exo7 971
\(E\) est un \(\Rr-\)espace vectoriel, \(F\) et ...
exo7 972
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 973
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs de \(E\), ...
exo7 974
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 975
Soit \(E=\Rr[X]\) l’espace vectoriel des polynômes, et \(f:E\rightarrow E\) défin ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...
exo7 977
Soit \(E=C({\Rr}^{+},{\Rr})\) et \(U : E \rightarrow E\) définie par ...
exo7 978
On désigne par \(\mathcal{P}_q\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 980
Soient \(\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)\) d ...
exo7 981
Montrer que les vecteurs \(v_1=(0,1,1)\), \(v_2=(1,0,1)\) et ...
exo7 982
On considère dans \(\mathbb{R}^4\), \(F=\mbox{lin}\{a,b,c\}\) et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 984
Dans \(\mathbb{R}^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...