Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2731
Décider, pour chacun des systèmes d’équations aux inconnues \(x_1\), \(x_2\), ...
exo7 2736
Les vecteurs complexes \((z, w)\) et \((z', w')\) sont liés par la formul ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2771
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application linéaire ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 2779
Qu’est -ce qui empêche de définir les mêmes opérations que dans l’exercice précédent sur les ensembles suivants ?
exo7 2780
Soient dans \(\mathbb{R}^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}= (1,1,0)\), ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3164
Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...
exo7 3165
Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose ...
exo7 3166
Soient \(U,V \in K[X]\) non constants. On pose \(P_k = U^kV^{n-k}\). Montrer que ...
exo7 3168
On note \(U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N\), et ...
exo7 3169
Soit \(P \in { K[X]}\) de degré \(n\). Démontrer que la ...
exo7 3170
Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...
exo7 3172
Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
exo7 3173
Soit \(a\in K\) et ...
exo7 3181
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3197
Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...
exo7 3198
Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3260
Trouver \(a,b,c,d \in \R\) tels que : ...
exo7 3297
On considère les vecteurs de \(K^3\) : \(\vec a = (1, 2, 1)\), ...
exo7 3298
Soient \(F,G,H\) trois sous-espaces d’un espace vectoriel \(E\). Comparer ...
exo7 3299
Soient \(F,G,F',G'\) des sev d’un ev \(E\).
Montrer que si ...
exo7 3300
Soit \(E\) un \(K\)-ev non nul et ...
exo7 3301
Étudier la liberté des familles suivantes :
exo7 3302
On considère que \(\R\) est un \(\Q\)-espace vectoriel.
exo7 3303
Soit \(E\) un espace vectoriel, \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une famille libre d ...
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3306
Soit \(f : E \to F\) une application linéaire et \(E_1\), ...
exo7 3307
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels et \(f : E \to F\) linéaire.
exo7 3308
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f,g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que ...
exo7 3309
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que pour tout ...
exo7 3310
Soient \(f,g \in \mathcal{L}(E)\) tels que \(f\circ g \circ f = f\) et ...
exo7 3311
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^3 = \mathrm{id}_E\).
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.