Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4524
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues \({[a,b]} \to {\R}\) convergeant ...
exo7 4526
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \(D \subset \R\) convergeant ...
exo7 4527
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to \R\) des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue ...
exo7 4529
Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}\) sous réserve de convergence ...
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 4537
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{x(x+1)\dots(x+n)}\).
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4542
Soit \(f\in \mathcal{C}^{\infty}(\R)\). On définit la suite \((f_n)_{n\in\N^*}\) ...
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4548
Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que ...
exo7 4550
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur le compact \(K\), à valeurs r ...
exo7 4553
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 4690
On considère l’équation : \(x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0\).
exo7 4701
Soit une fonction continue \(f\) de \(\R\) dans ...
exo7 4703
Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4759
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 479
Soient \(n\in \Nn^{*}\) et \(a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}\), ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4798
Montrer que les points fixes de \(f\), continue sur \([0,1]\), à val ...
exo7 4802
Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...
exo7 4842
Soit \(\mathbb{U}\) le cercle unité de \(\C\) et ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4857
Soient \({f,g} : {I\subset \R} \to E\) deux fonctions vectorielles de classe ...
exo7 4858
Soit \(f : {I\subset \R} \to {\R^2}\) une fonction continue, \(D\) une droite de ...
exo7 493
Pout tout \(x\in \Rr\) on note \(E(x)\) sa partie entière et ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5070
Calculer \(\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\) pour \(a\) élément don ...
exo7 5074
Combien l’équation \[\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0,\] possède-t-elle de solutions dans ...
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5106
Dans chacun des cas suivants, déterminer \(f(I)\) puis vérifier que \(f\) réalise ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5236
Etudier les deux suites \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) et ...