Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
c) Limite d’une suite réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite finie ou infinie d’une suite. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. |
Unicité de la limite. | Notations $u_n\longrightarrow\ell$, $\lim u_n$. |
Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée. | |
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Passage à la limite d’une inégalité large. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell>0$, alors $u_n>0$ à partir d’un certain rang. | Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle. |
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$). | Utilisation d’une majoration de la forme $\lvert u_n-\ell\rvert\leqslant v_n$, où $(v_n)$ converge vers 0. |
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Exercice bilan I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout ...
exo7 119
Montrer que ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1194
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite bornée de nombres réels telle que ...
exo7 1195
On définit par récurrence les suites \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et ...
exo7 1196
Soient \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et \((v_n)_{n\in { \Nn}}\) deux suites de nombres ...
exo7 1197
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels non nuls convergeant vers une limite ...
exo7 1198
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels telle que les suites extraites ...
exo7 1199
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels et ...
exo7 1200
Pour tout \(n \in { \Nn}^*\) on note ...
exo7 1201
Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) est dite de Cauchy lorsque, pour tout ...
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1232
Montrer que pour tout \(x>0\) on a : ...
exo7 1233
Soit \(f\) une application continue d’un intervalle \(]a,b[\) à valeurs dans ...
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1382
Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...
exo7 155
Soit la suite \((x_n)_{n\in \Nn}\) définie par \(x_0=4\) et ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1783
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) une suite réelle. \(\forall n \geq 1\), on pose ...
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1905
Soit \(f:\Rr\rightarrow\Rr\) continue. Soit \(x_0\in\Rr\). Soit ...
exo7 1906
Soit \(s_n=\Sigma_{k=1}^n1/k\) et \(x_n=\cos (s_n)\). Montrer qu’il n’existe pas ...
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 2100
Calculer la limite des suites suivantes :
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2371
Montrer qu’une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact.
exo7 2372
Soient \(K,F\subset \Rr^n\) des parties non vides, \(K\) compact et ...
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2649
On considère une suite \((u_n)_n\), de terme général \(u_n\in\R^2\).
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 3068
Résoudre ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3848
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3910
Calculer \(\tan p - \tan q\). En déduire la valeur de ...
exo7 3911
Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).
exo7 3957
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...
exo7 3963
Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).
exo7 3978
Trouver toutes les fonctions \(\varphi : \R \to \R\) dérivables telles que ...