Programme de mathématiques MP, MPI
b) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sous-espace stable par un endomorphisme. Endomorphisme induit. | En dimension finie, traduction matricielle. |
Droite stable par un endomorphisme. Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre. | Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | La notion de valeur spectrale est hors programme. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Le spectre d’un endomorphisme d’un espace de dimension finie $n$ est fini, et de cardinal au plus $n$. | |
Si deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$. | Le noyau et l’image de $u$ sont stables par $v$. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $MX=\lambda X$. Deux matrices semblables ont même spectre. Si $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{K}'$ et si $M\in\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$, le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}$ est contenu dans le spectre de $M$ dans $\mathbb{K}'$. |
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2581
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2596
Soit \(P(X)\) un polynôme de \(\C[X]\), soit ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2763
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2767
On considère la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3500
Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\).
Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3501
Soit ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3505
Diagonaliser la matrice ...
exo7 3506
Soit ...
exo7 3508
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante ( ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3512
Soit \(E = K_{2n}[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}\) Cherc ...
exo7 3513
Soient \(\alpha, \beta, \gamma \in K\) distincts, et ...
exo7 3514
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}\)
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3516
Soit \(f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})\) qui à \(P\) associe ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3519
Soit \(E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}\) tq \(f(x)\to 0\) lorsque ...