Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 4737
Soit \(E\) un evn non nul et \(\vec a,\vec a' \in E\), ...
exo7 4738
Soient \(\vec x,\vec y,\vec z\) trois vecteurs d’un evn \(E\) tels que ...
exo7 4739
Soit \(E\) un evn, et \(\vec a \in E\), ...
exo7 4740
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\) une partie non vide. Pour ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4745
Soit \(f\) définie par \(f(x)=\frac{x}{\max(1,\|x\|)}\). Montrer que ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4747
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites d’un evn ...
exo7 4748
Soit \(E = \R[X]\) muni de la norme : ...
exo7 4749
Soit \(B\) une matrice antisymétrique. On suppose que la suite ...
exo7 4750
Soit \((A_n)\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_p(\R)\) vérifi ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4752
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\). On suppose que la suite de matrices : ...
exo7 4753
Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que la suite \((A^k)\) converge vers une ma ...
exo7 4754
Soient \(E = \mathcal{C}([a,b]\to\R)\), \((f_n)\) une suite de fonctions de ...
exo7 4755
On note \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \((x_n)\) telles ...
exo7 4756
Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...
exo7 4757
Montrer que \((x,y)\mapsto \sup\limits_{t\in \R} \frac{|x+ty|}{1+t+t^2}\) est une norme sur ...
exo7 4758
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k\), on pose : ...
exo7 4759
Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...
exo7 4760
Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : ...
exo7 4761
Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...
exo7 4762
\(E\) est l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 4763
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...
exo7 4764
Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4766
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...
exo7 4767
Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...
exo7 4768
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(\R \to \R\) lipschitziennes. Pour ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4770
\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...
exo7 4771
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...
exo7 4772
Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...
exo7 4773
Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4776
Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4778
Soit \(E\) un evn et \(F\) un sev de \(E\).
exo7 4779
\(E\) est un \(\R\)-espace vectoriel normé et ...
exo7 4780
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...
exo7 4781
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(\cal P\) l’ensemble des projecteurs de ...
exo7 4782
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ...
exo7 4783
On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4785
Soit \(A\) une partie convexe d’un evn \(E\).
exo7 4786
Soit \(E\) un evn de dimension finie, et \((B_n = B(\vec a_n, r_n))\) une suite d ...