Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0, y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k + o(\lVert (h, k)\rVert).$ | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ et l’interprétation de $\displaystyle z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0, y_0)$ à la surface d’équation $z = f(x, y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0, y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
exo7 2654
On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4136
Calculer les dérivées partielles des fonctions :
exo7 4137
Soit \(f : {\R^3} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4138
Soit \(f(x,y) = \arcsin\left(\frac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)\) et ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4141
Soient \({u,v,f,g} : {\R^2} \mapsto \R\) des fonctions de classe ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4144
Soient \(f : {\R^3} \mapsto \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4146
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe ...
exo7 4147
Soit \(f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\ne 0\) et ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4152
Déterminer les fonctions \(f : {D \subset {\R^2}} \to \R\) vérifiant :
exo7 4156
Déterminer les fonctions \(f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4157
Trouver les fonctions polynomiales \(f : {\R^2} \to \R\) vérifiant : ...
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4161
On pose \(f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)\). Montrer que \(f\) induit un ...
exo7 4163
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^p\) et ...
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4166
Montrer que l’égalité \(2e^{x+y} + y - x = 0\) définit \(y = \varphi(x)\) au vois ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4169
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, ...
exo7 4170
On considère la fonction de \(\R^2\) sur lui-même définie par \(f(x,y)=(u,v)\), o ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4201
Résoudre l’équation \(2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f\) avec la con ...
exo7 4202
Déterminer les applications \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4203
Résoudre sur \((\R^{+*})^2\) : ...
exo7 4204
Soit \(U\) l’ouvert de \({\R^2}\) : ...
exo7 4205
Résoudre sur \({\R^2} \setminus \{(0,0)\}\) : ...
exo7 4206
Soit \(f : U \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant : ...
exo7 4207
Résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante : ...
exo7 4208
Soit \(\Omega = \{ (x,y) \in {\R^2} \text{ tq } (x,y) \ne (0,0) \}\), et ...
exo7 4209
Résoudre l’équation : ...
exo7 4210
Soient \(a,b,c \in \R\) non tous nuls. On considère l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4212
Soit \(g : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...