Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Fonctions polynomiales et racines
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité. | Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ». Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale. |
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Multiplicité d’une racine. | Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée. |
Polynôme scindé. Relations entre coefficients et racines (formules de Viète). | Les formules concernant la somme et le produit doivent être connues des étudiants ; les autres doivent être retrouvées rapidement. |
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5096
Résoudre dans \(\Rr\) les équations suivantes :
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5315
Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5318
Pour quelles valeurs de l’entier naturel \(n\) le polynôme \((X+1)^n-X^n-1\) est- ...
exo7 5319
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels tel que ...
exo7 5321
Soit \(P\) un polynôme à coefficients entiers relatifs de degré supérieur ou égal à ...
exo7 5322
Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes ...
exo7 5323
Division euclidienne de \(P=\sin aX^n-\sin(na)X+\sin((n-1)a)\) par ...
exo7 5324
Soit \(P\in\Cc[X]\) de degré supérieur ou égal à \(1\). Montrer que les racines d ...
exo7 5325
Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée.
exo7 5326
Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...
exo7 5327
Trouver les polynômes \(P\) de \(\Rr[X]\) vérifiant ...
exo7 5328
Déterminer \(a\in\Cc\) tel que \(P=X^5-209X+a\) admette deux zéros dont le produi ...
exo7 5330
Résoudre dans \(\Cc^3\) (resp. \(\Cc^4\)) le système :
...
exo7 5332
Factoriser dans \(\Cc[X]\) le polynôme \(12X^4+X^3+15X^2-20X+4\).
exo7 5333
Soit \(n\in\Nn^*\). Montrer que \((X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1\) est divisible par ...
exo7 5343
Soit \(P=\) où \(n\) est un entier naturel non ...
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5345
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...
exo7 5346
Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).
Montrer qu ...
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 5349
Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) complexes tels que les zéros de ...
exo7 5350
Soient \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les zéros de ...
exo7 5351
Soient \(x_1\),..., \(x_8\) les zéros de ...
exo7 5362
Montrer que ...
exo7 5363
Pour \(a\), \(b\) et \(c\) deux à deux distincts ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5485
Sur \(\Rr[X]\), on pose \(P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt\). Existe-t-il ...
exo7 5573
Soient \(a_0\),..., \(a_n\) \(n+1\) nombres comp ...
exo7 5627
Soient \(A\) et \(B\) deux éléments de ...
exo7 5630
Sur \(E =\Rr_3[X]\), on pose pour tout \(P\in E\), ...
exo7 5687
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\geqslant 2\) vérifiant ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 6151
Soit \(P\in{\Cc}[X]\) un polynôme de racines \(z_1,\ldots ,z_n\) distinctes ou no ...
exo7 6531
Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...
exo7 6533
Montrer que le polynôme \(X^2-1\) a quatre zéros dans \(\Z /15\Z\). Est-ce que ce ...
exo7 6534
Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...
exo7 6535
Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...
exo7 6536
Lesquels parmi les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\Q[X]\) ?
...
exo7 6541
Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...
exo7 6542
Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :
exo7 6545
Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...