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Montrer que \((x,y)\mapsto \sup\limits_{t\in \R} \frac{|x+ty|}{1+t+t^2}\) est une norme sur ...

Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k\), on pose : ...

Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P\in E\) on pose ...

Soit \(a\in\R\). On pose pour \(P\in\R[X]\) : ...

Soit \((\lambda_n)\) une suite de réels strictement positifs. On lui associe la norme sur ...

\(E\) est l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), on pose \(\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}\). ...

Soit \(p\) une semi-norme sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) (ie. il manque juste l’axiome ...

Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) réelles borné ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)_{n\ge1}\) telle ...

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(\R \to \R\) lipschitziennes. Pour ...

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...

\(E=C([0,1],\R)\). Soit \(g\in E\). Pour tout ...

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et ...

Soit \((E,\|\ \|)\) un \(\R\)-evn et ...

Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On considère une application ...

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(C \subset E\) convexe et dense. Montrer ...

Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour  ...

Soit \(E = \R[X]\). Pour \(P \in E\), on pose : ...

Soient \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels normés, ...

\(E\) est l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans ...

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(f \in \mathcal{L}(\R^n)\), ...

On note \(E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)\) et \(D\) l’endomorphisme de ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \(u = (u_n)\) borné ...

Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose ...

Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans  ...

Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...

Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(K\) un compact convexe de  ...

Soit \(E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}\). Pour \(f \in E\) ...

Soit \(E\) un evn complet et \((B_n(a_n,r_n))\) une suite décroissan ...

Soit \(E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{é}es}\}\). On munit ...

Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...

Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...

Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...

Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).

Déterminer l ...

Soit \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel muni d’une norme, notée ...

Montrer que la boule unité d’un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace.

Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...

Soit \(E = C^2([0,1],\Rr)\). Pour \(f\) élément de ...

On munit \(E=\Rr[X]\) de la norme \(\|\;\|_\infty\) définie par : ...

Déterminer ...

Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...

Pour \(X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\), on pose ...

Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe.

Réciproquement, supposons que l’espace vectoriel soit muni d’une application ...

On considère dans \({\Rr}^2\), les deux applications ...

On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...

Soit \(N\) un entier \(\geq1\), et \(E\), l’espa ...

Soit \(E\) un espace vectoriel normé sur \(\R\) ou ...