Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Droite stable par un endomorphisme. | |
Valeur propre, vecteur propre (non nul), sous-espace propre d’un endomorphisme. | Équation aux éléments propres $u(x)=\lambda x$. Si $u$ et $v$ commutent, les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$. |
Spectre d’un endomorphisme en dimension finie. | Notation $\operatorname{Sp}(u)$. La notion de valeur spectrale est hors programme. |
La somme d’une famille finie de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe. | Toute famille finie de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. |
Si un polynôme $P$ annule $u$, toute valeur propre de $u$ est racine de $P$. | Si $u(x)=\lambda x$, alors $P(u)(x)=P(\lambda)x$. |
Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre et spectre d’une matrice carrée. | Équation aux éléments propres $AX=\lambda X$. |
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1662
Soient \(A\in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(\text{tr}(A)\not= 0\) et ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1669
On désigne par \(E\) l’espace vectoriel des polynôme s à coefficients réels, et par ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1674
Soit \(\theta\in]0,\pi[\). On considère les deux matrices d’ordre \(n\):
...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 1677
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\) et \(a\in E.\)
exo7 1678
Soient \(f\in\mathcal{L}(E)\), \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 1683
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, \(f\) et ...
exo7 1684
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1685
Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension finie, ...
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1689
Soit \(f\) l’endomorphisme de l’espace vectoriel canonique \(\Rr^3\) dont la matr ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1713
Résoudre le système différentiel \(X'=AX\) où \(A\) est la matrice : ...
exo7 1715
Soit l’endomorphisme \(f\in\mathcal{L}(\Rr^3)\) dont la matrice dans la base canonique de ...
exo7 1720
Soit \(a\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphisme d’un \(K\)-espace vectoriel de dimen ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 1726
Etudier les solutions (suivant \(A\)) dans \(M_2 (\C )\) de l’équation ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 2467
Donner les valeurs propres, vecteurs propres et matrice de diagonalisation éventuelle des matrices suivantes dans ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2469
Soit \(a,b,c\) trois réels et \(u\) l’endomorphisme de ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2472
Soient \(u, v\) deux endomorphismes d’un espace vectoriel complexe \(E\). On supp ...
exo7 2473
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2474
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients complexes qui co ...
exo7 2476
Soit \(E\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à ...
exo7 2479
On considère la matrice \(N\times N\) ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2570
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). On suppose que ...
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...