Programme de mathématiques PT
B - Fonctions de deux ou trois variables
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Cette section est consacrée aux fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}$ pour $p = 2$ ou $3$, sauf dans le paragraphe (g). Leur étude est axée sur la mise en place d’outils permettant de traiter des applications du calcul différentiel à l’analyse et la géométrie.
La notion de différentielle est hors programme.
- a) Topologie de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ 64
- b) Limite et continuité 96
- c) Dérivées partielles d’ordre 1 0
- d) Dérivées partielles et composées 3
- e) Dérivées partielles d’ordre 2 3
- f) Extremums d’une fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ 9
- g) Fonctions de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$ ($p \leqslant 3$, $n \leqslant 3$) 61
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4137
Soit \(f : {\R^3} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4139
Sur quelle partie \(D\) de \(\R^3\) la fonction ...
exo7 4144
Soient \(f : {\R^3} \mapsto \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4147
Soit \(f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}\) si \((x,y)\ne 0\) et ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4161
On pose \(f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)\). Montrer que \(f\) induit un ...
exo7 4162
Soit \(f : {\R^3} \to {\R^3}, {(x,y,z)} \mapsto {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}\) Montrer que ...
exo7 4165
Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...
exo7 4169
Soit l’équation \((*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0\). Montrer qu’il existe un voisinage, ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4175
Soit \(U\) l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré \(n\) et à raci ...
exo7 4181
Soit \(U\) un ouvert de \(\R^2\).
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4185
Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4194
On considère un vrai triangle \(ABC\) et \(f\) la fonction définie par : ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4219
Trouver les fonctions \(g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R\) de classe ...
exo7 4350
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On définit pour \(x \in \R^*\) et ...
exo7 4521
Soit \({f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}\) et \({g_n} : {[c,d]} \to \R\) des fonctions ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4666
On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
...
exo7 4720
Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 4730
Soient \(A,B\) deux parties d’un espace vectoriel normé disjointes. Si ...
exo7 4733
Soit \(A\) une partie non vide d’un espace vectoriel normé \(E\). Po ...
exo7 4740
Soit \(E\) un evn et \(A \subset E\) une partie non vide. Pour ...
exo7 4741
Soit \(A\) une partie de \(\R^n\) non vide. On note pour ...
exo7 4743
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(A \subset E\) borné, ferm ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4774
Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? fermées ? bornées ?
exo7 4775
Soient \(A,B\) deux parties non vides d’un evn \(E\). On note ...
exo7 4776
Soit \(F\) un fermé de \(\R^n\) et ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4783
On pose \(E=C([0,1],\R)\) et on le munit de la norme \(N_{\infty}\). Soit ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4790
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4791
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4792
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(f : E \to\R\) continue. On suppose que ...
exo7 4793
On note \(\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}\) et ...
exo7 4794
Trouver une fonction \(f : {\R^2} \to \R\) discontinue en \((0,0)\) mais telle qu ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...