Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 3681
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Existe-t-il trois vecteurs ...
exo7 3682
Soit \(E\) = \(\R[X]\). On pose ...
exo7 3683
Soit \(E = \R_n[X]\) et \((P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).
exo7 3686
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famil ...
exo7 3687
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1])\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3688
On munit \(\R_2[X]\) du produit scalaire : ...
exo7 3689
Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que ...
exo7 3690
Soit \(E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)\) et ...
exo7 3691
Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de ...
exo7 3693
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n>1\). Trouver toutes les foncti ...
exo7 3694
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w,\vec t\) quatre vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Dém ...
exo7 3695
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3696
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
Trouver ...
exo7 3697
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3698
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3699
Soient \(\vec u,\vec v,\vec w\) trois vecteurs d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.
On d ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3701
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \(\vec u \in E\) ...
exo7 3708
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3714
La matrice \(A = \begin{pmatrix}4&1&1\cr1&4&1\cr1&1&4\cr\end{pmatrix}\) est-elle une matri ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3735
Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3746
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3751
\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3754
Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...
exo7 3758
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 3759
Soit \(f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}\) Avec la structure ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3770
Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose ...
exo7 3788
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et ...
exo7 3801
On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3824
Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 3834
Montrer que les applications : ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3838
Soit \(E\) un espace euclidien, \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base de ...
exo7 3839
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous- ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 3842
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4199
Déterminer le plus court chemin entre les pôles nord et sud d’une sphère en dimension ...
exo7 4396
Calculer le volume des domaines suivants :
exo7 4397
Calculer le volume intérieur au paraboloïde d’équation \(x^2+y^2 = 2pz\) et extérieur au cône d’équation ...
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...