Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
Analyse 5 – Suites réelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Suites majorées, minorées, bornées. Suites monotones. | |
Convergence, divergence. Limite infinie. | La définition d’une limite par $(\varepsilon, n_0)$ est présentée, mais aucune technicité ne pourra être exigée en la matière. |
Comparaison de la convergence et de la limite d’une suite $(u_n)$ avec celles des deux suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. | Utilisation de cette comparaison pour justifier une divergence. La notion générale de suite extraite est hors programme. |
Opérations sur les limites. | |
Résultats fondamentaux sur les limites et inégalités : • Signe d’une suite de limite non nulle. • Passage à la limite dans une inégalité large. • Théorème d’encadrement, dit « des gendarmes », et extension aux limites infinies. | |
Théorème de la limite monotone. | Toute suite réelle monotone admet une limite finie ou infinie. |
Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. | |
Exemples d’étude de suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$. | Un plan d’étude détaillé sera toujours proposé. Il pourra commencer par la détermination d’un intervalle stable. Aucun théorème général relatif à ce type de suites n’est exigible des étudiants. L’étude numérique (par itération) et graphique sont présentées comme outils d’étude et de formation de conjectures. L’objectif est alors l’étude de la monotonie et de la convergence de telles suites dans les cas simples de fonctions $f$ monotones. |
Croissances comparées entre les suites factorielle, puissance ($n^\alpha$ avec $\alpha > 0$), géométriques ($a^n$ avec $a > 1$). | |
Suites équivalentes, notation $u_n \sim v_n$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement sur les équivalents doit être modeste et se limiter aux suites dont le terme général ne s’annule pas à partir d’un certain rang. |
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Equivalents simples
-
...
Exercice bilan I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout ...
Exercice bilan II
On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par ...
Exercice bilan II
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout entier ...
Exercice bilan III
On consdière les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : ...
Exercice bilan III
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par ...
exo7 119
Montrer que ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1194
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite bornée de nombres réels telle que ...
exo7 1195
On définit par récurrence les suites \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et ...
exo7 1196
Soient \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) et \((v_n)_{n\in { \Nn}}\) deux suites de nombres ...
exo7 1197
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels non nuls convergeant vers une limite ...
exo7 1198
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels telle que les suites extraites ...
exo7 1199
Soit \((u_n)_{n\in { \Nn}}\) une suite de nombres réels et ...
exo7 1200
Pour tout \(n \in { \Nn}^*\) on note ...
exo7 1201
Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) est dite de Cauchy lorsque, pour tout ...
exo7 1202
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0\) et \(u_1\) st ...
exo7 1204
Déterminer les suites bornées qui vérifient \(u_{n + 2} = 3u_{n + 1}-2u_n\).
exo7 1208
Montrer que la suite \(\left(\frac{\sin n}{2^n}\right)_{n\in \Nn}\) est de Cauchy et que la suite ...
exo7 1212
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans lui-même telle que ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1231
Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans ...
exo7 1232
Montrer que pour tout \(x>0\) on a : ...
exo7 1233
Soit \(f\) une application continue d’un intervalle \(]a,b[\) à valeurs dans ...
exo7 1256
Calculer pour \(a\in \Rr^{+*}\) : ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1294
Soit \(f:]0;1] \rightarrow {\Rr }\) continue et monotone, telle que ...
exo7 1382
Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...
exo7 155
Soit la suite \((x_n)_{n\in \Nn}\) définie par \(x_0=4\) et ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1905
Soit \(f:\Rr\rightarrow\Rr\) continue. Soit \(x_0\in\Rr\). Soit ...
exo7 1906
Soit \(s_n=\Sigma_{k=1}^n1/k\) et \(x_n=\cos (s_n)\). Montrer qu’il n’existe pas ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1942
Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2096
Soit \(\displaystyle I_n=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin x)^n \, d x\) pour ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).