Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Analyse 1 – Séries réelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sommes partielles, convergence d’une série, somme d’une série convergente. | La série est notée $\sum\limits_{n\geq n_0} u_n$ ou plus succinctement $\sum u_n$. En cas de convergence, la somme de la série est notée $\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty} u_n$. La terminologie de « famille sommable » n’est pas donnée. La notion de reste d’une série est hors programme. |
Combinaison linéaire de séries convergentes. | |
Thèorèmes de convergence pour deux séries à termes positifs $u_n$ et $v_n$ : • théorème de comparaison si $u_n\leq v_n$ à partir d’un certain rang, | Tout autre critère de convergence est hors programme. |
• si $u_n\sim v_n$, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | Les résultats relatifs aux restes et sommes partielles sont hors programme. |
Convergence et somme de la série géométrique $\sum\limits_{n\geq 0} q^n$ (pour $\lvert q\rvert<1$) et des séries « dérivées » $\sum\limits_{n\geq 1} nq^{n-1}$ et $\sum\limits_{n\geq 2} n(n-1)q^{n-2}$. | |
Convergence et somme de la série exponentielle $\sum\limits_{n\geq 0}\dfrac{x^n}{n!}$. | Résultat admis. |
Convergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$ et divergence de $\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{1}{n}$. | L’étude générale des séries de Riemann est hors programme. |
Convergence absolue. | La convergence absolue est présentée comme une condition suffisante pour obtenir la convergence de la série. En vue des applications probabilistes, on admet que la valeur de la somme d’une série absolument convergente ne dépend pas de l’ordre d’énumération de ses termes. L’étude de séries semi-convergentes est hors programme. |
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Convergence de séries
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{3}{4^n}\) est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette ...
Critère de D'Alembert
On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : ...
Domaine de convergence et somme d'une série sentière
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
Etude d'une série entière
Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...
Etude d'une série positive
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose : ...
Etude de diverses séries
Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.
exo7 1208
Montrer que la suite \(\left(\frac{\sin n}{2^n}\right)_{n\in \Nn}\) est de Cauchy et que la suite ...
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1731
Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1931
Soit \(S= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \displaystyle{\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}}\). Donner une valeur approchée ...
exo7 1932
Etudier la série de terme général ...
exo7 1933
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1935
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1939
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive et ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1942
Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...
exo7 1943
Soient \(\sum_{n \ge 0} u_n\), \(\sum_{n \ge 0} v_n\) deux séries à termes réels ...
exo7 1944
En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories
GD: cel ...
exo7 1945
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2097
Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2656
Indiquer pour quelles valeurs de \(\alpha \in\R\) la série ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 2720
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2722
Montrer qu’il existe deux réels \(\alpha\), \(\beta\), tels que pour tout ...
exo7 2723
Soit \((a_n)\) un suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) conv ...
exo7 2724
Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2726
En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2872
Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...