Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
e) Anneau des matrices carrées
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Anneau $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. | Non commutativité si $n \geqslant 2$. Exemples de diviseurs de zéro, d’éléments nilpotents. |
Matrice identité, matrice scalaire. | Notation $I_n$. |
Matrices symétriques, antisymétriques. | Notations $\mathscr{S}_n(\mathbb{K})$, $\mathscr{A}_n(\mathbb{K})$. |
Formule du binôme. | Application au calcul de puissances. |
Produit de matrices diagonales, de matrices triangulaires supérieures, inférieures. | |
Matrice inversible, inverse. Groupe linéaire. Inverse d’une transposée. Les opérations élémentaires préservent l’inversibilité. | Notation $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. |
Calcul de l’inverse d’une matrice, par opérations élémentaires ou par résolution du système $AX = Y$. | Toute technicité est exclue. |
Condition nécessaire et suffisante d’inversibilité d’une matrice triangulaire ; l’inverse d’une matrice triangulaire inversible est triangulaire. | Cas particulier des matrices diagonales. |
exo7 2214
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) inversible et ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2224
Montrer que la factorisation LU préserve la structure des matrices bande au sens suivant : ...
exo7 2225
Soit \(A\) une matrice symétrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l’on peut écrire ...
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2227
On suppose \(A\in\Rr^{n\times n}\) inversible. Montrer que si \(PA\Pi =LU\) est o ...
exo7 2228
Soit \(A\in\Rr^{n\times n}\) telle que \(A^T\) soit à diagonale strictement domin ...
exo7 2231
Soient \(p,q :\) \(1\leq p < q\leq n\), ...
exo7 2232
Soit \(Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)\) avec ...
exo7 2233
Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise l ...
exo7 2234
Soit \(A\in\Rr^{m\times n}\). On veut construire une matrice ...
exo7 2236
Soit \(A\) une matrice hermitienne inversible décomposée en \(A=M-N\) où ...
exo7 2237
Soit \(A=I-E-E^*\) une matrice carrée d’ordre \(N\) où ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2434
Soit \(A\) une matrice carrée qui commute avec toutes les matrices carrées. Montrer que c’est une matrice scalaire ...
exo7 2437
Soit \(A\) une matrice carrée.
exo7 2438
Soit \(G\) l’ensemble des matrices d’ordre 2 inversibles.
exo7 2440
Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...
exo7 2443
On rappelle qu’une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\) est dite symétriq ...
exo7 2444
Soient \(A, B\) deux matrices semblables (i.e. il existe \(P\) inversible telle q ...
exo7 2446
Une matrice carrée réelle \(A\) est dite stochastique si ...
exo7 2459
Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
exo7 2465
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) tridiagonale, c’est-à-dire telle que ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2474
Soit \(A, B\) deux matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients complexes qui co ...
exo7 2477
Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2582
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2588
Soit \(N\) une matrice nilpotente, il existe \(q\in\N\) tel que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2668
Matrices de permutation
Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 2750
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. ...
exo7 2751
Inverser les matrices suivantes : ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 2759
Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières différentes : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2772
On considère la matrice ...
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...