Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
c) Changements de bases
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrice de passage d’une base à une autre. Inversibilité et inverse d’une matrice de passage. Effet d’un changement de base sur la matrice d’un vecteur. Effet d’un changement du couple de bases sur la matrice d’une application linéaire. | |
Effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme. | Exemples de recherche d’ une base dans laquelle la matrice d’un endomorphisme donné est simple. |
Matrices semblables. | Exemples de recherche d’une matrice simple semblable à une matrice donnée. |
exo7 1001
Soit \(n \in { \Nn}\) et \(E={ \Rr}_{n}[X]\), l’espace vectoriel des polynômes à ...
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1081
Soit \(h\) l’homomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dans ...
exo7 1083
On désigne par \(\mathcal{P}_2\) l’espace des polynômes sur \(\mathbb{R}\) de deg ...
exo7 1087
Soit \(\Rr^2\) muni de la base canonique \(\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})\). Soit ...
exo7 1095
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) une base de l’espace \(E\) à trois dimensions sur un corps ...
exo7 1097
Soient trois vecteurs \(e_1,e_2,e_3\) formant une base de \(\Rr^3\). On note ...
exo7 1103
Soit \(f \in \mathcal{L} (\Rr^3)\) de matrice ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 1517
Dessiner l’allure du Shadock ci dessous après qu’il ait subi l’action de l’endomorphisme de \(\R^{2}\) dont la mat ...
exo7 1576
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1605
On considère les matrices suivantes : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1686
Trigonaliser les matrices réelles suivantes :
exo7 1690
Soit ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1973
Soit \(R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})\) un repère cartésien d’un espace affine. Soient ...
exo7 2032
Les formules suivantes définissent-elles bien un changement de repère ? Dans ce cas, donner le changement de repère inverse.
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2433
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice par rapport à la base cano ...
exo7 2442
Pour toute matrice carrée \(A\) de dimension \(n\), on appelle trace de ...
exo7 2468
Soit \(\mathbb K\) le corps des réels ou des complexes, et \(u\) l’endomorphisme ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2583
Soit ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2601
Soit \(A\) la matrice suivante : ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3367
Soit \(P \in GL_n( K)\). Montrer que l’application ...
exo7 3368
Soit \(u\in\mathcal{L}({\R^3})\) ayant pour matrice dans la base canonique ...
exo7 3370
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) ayant même matrice dans toutes les bases de \(E\). ...
exo7 3374
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\) non scalaire telle que ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...