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Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...

Déterminer le domaine de convergence de la série entière ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

On considère la série entière \(\displaystyle S(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(3x)^n}{n^2+3n+2}\).

Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).

En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...

On considère la série entière : \[S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+2}x^n\]

Calculer le rayon \(R\) de convergence et déterminer le domaine \(D\) de converge ...

On définit les deux suites suivantes pour tout \(n\) entier naturel non nul : ...

On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...

1. \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...

Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle \[x(x-1)y''+3xy'+y=0\] avec les cond ...

À l’aide des développements en séries entières des fonctions usuelles, calculer les développements en séries entières en ...

Développer en série entière la fonction de la variable réelle suivante : \[f \colon x \mapsto \ln(x^2-5x+6)\]

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto \ln(2+x-x^2)\).

Donner un développement en série entière de la fonction \(u \mapsto \ln(1-u)\), en précisant le rayon de convergen ...

Soit la fonction d’une variable réelle \(f \colon x \mapsto e^{x^2}-1\).

On supposera connues les relations suivantes : ...

On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]

Soit la série entière d’une variable réelle définie par : ...

Déterminer le rayon de convergence de la série : \[\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n\] puis détermi ...

Dans chacun des cas, dire si la série est absolument convergente, semi-convergente, divergente ou grossièrement divergente.

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :

On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).

Déterminer le rayon de convergence des séries entières réelles suivantes :

Soit \(f\) l’application de \(\Rr\) dans \(\Rr\) ...

Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...

Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...

Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...

Etudier la série de terme général ...

Etudier les séries de termes généraux

Etudier les séries de termes généraux

Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs, on suppose que ...

Déterminer la nature des séries de terme général: ...

Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...

Etudier les séries de termes généraux

Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...

En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories

• GD: cel ...

Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...

Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...

Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...

Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...

1. Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...

A

En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs tels que, au voisinage de ...

Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...

Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...

En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...