Programme de mathématiques PT
C - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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Après avoir introduit le vocabulaire des éléments propres en dimension quelconque, cette partie s’intéresse de manière plus approfondie au cas de la dimension finie, et à la question de la diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.
Tout développement sur les polynômes d’endomorphisme est hors programme.
- a) Éléments propres d’un endomorphisme, d’une matrice carrée 230
- b) Polynôme caractéristique 170
- c) Endomorphismes et matrices diagonalisables 202
- d) Endomorphismes et matrices trigonalisables 21
exo7 2571
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\) vérifiant ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2574
(5 points) Soit \(A\) une matrice carrée, \(A\in M_n(K)\) ( ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2581
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2583
Soit ...
exo7 2584
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. On suppose que dans ch ...
exo7 2586
I
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matr ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2598
On note \((\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) la base canonique de \(\R^3\). Soit ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2600
Donner un exemple de matrice dans \(M_2(\R)\), diagonalisable sur \(\C\) mais non ...
exo7 2601
Soit \(A\) la matrice suivante : ...
exo7 2604
Soit \(\theta\in \R\), on considère l’endomorphisme \(f\) de ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2609
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2615
Questions préliminaires :
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2762
Déterminer le polynôme caractéristique des matrices suivantes ...
exo7 2763
Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes : ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2765
Soit la matrice ...
exo7 2766
Soit la matrice ...
exo7 2767
On considère la matrice ...
exo7 2777
Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice ...
exo7 3029
On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...
exo7 3326
Soit \(\mathbb{A}\) une \(\R\)-algèbre commutative, intègre et de dimension finie ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3451
Calculer les déterminants suivants :
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :